河北省2025-2026学年第一学期学情质量评估一（八年级）数学（北师大）试题正在持续更新，目前2025-2026全国100所名校答案网为大家整理了相关试题及答案，供大家查缺补漏，高效提升成绩。

C(2,4,0),P(0,0,2),D(0,4,0).(7分)(3)证明:当α>0时,要证f(x)>xE(0,+∞0),因为E是PD 的中点,所以 E(0,2,1).即证e"-ax-1>,xE(0,+∞).(10分)a²x2令g(x)=e-ax-1-,xE(0,+∞),2所以 g'(r)=ae" -a-a²,(11分)令h(x)=ae-a-a²x,x∈(0,+oo),图2所以 h'(x)=a?e-αa²=a²(e -1).(12分)所以 AE=(0,2,1),AC=(2,4,0).因为a>0,xE(0,+∞),所以 e>1,设面AEC的法向量为(2）,则h'(x)=a²(e-1)>0,(13分)所以h(x)在(0,十∞o)上单调递增，2y+x=0，即则h(x)>h(0)=a-a-0=0,即g'(x)>0,(n·AC=0,[2x+4y=0,所以 g(z)在(0,+oo)上单调递增.含x=1,则x=-2x=-2,所以=(-2l,-2).(9分)所以 g(x)>g(0)=e-0-1-0=0,(14分)PC=(2,4,-2),即eax-1>a²x设直线 PC与面AEC所成的角为θ，所以当x∈(0,+∞o)时,f(z))(15分）则PC·n=-2×2+1×4+(-2)×(-2)=4,IPC|= √2²+4²+(-2)²= √24=2√6,18.(1)证明见解析(2)(3)√6(1)问90分必答，(2)问120分必答，(3)问150分必答[n|=√(-2)²+1²+（-2)²=3，（线面行的判定、用向量法求解线面角及点面距离）PC所以 sin θ=|cos1=6[PC|1n| ](1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE,如图 1 所示.2√6×3(1分)√6即直线PC与面AEC 所成角的正弦值为（12分）因为底面ABCD 是矩形,所以 O是BD 的中点.(3)解:由(2)知面 AEC 的一个法向量为 n=(-2,1一2),因为E是PD的中点,所以在△PBD中，OE是中位线,所以OE//PB.(3分)设PF=tPC(0≤<1),因为 OEC面 AEC,PBC面 AEC,(4分)又 PC=(2,4,-2),所以PB//面AEC.(5分)则 F(2t,4t,2-2t),AF=(2t,4t,2-2t).(15分)AF·n=-4t+4t-2(2-2t)=4t-4,|n|=3.令点F到面AEC的距离为d.[AF·nl=14t-41=2图1=p甲，得|4t-4|=2，n3(2)解:如图 2,因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥AB,解得t=或t=(舍去).(16分)PALAD,又在矩形 ABCD 中,AB⊥AD,所以 AP,AB,AD 两两垂又|PC|=2√6,故|PF|=t|PC|=×2√=√6,直.以点A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0)，所以 PF 的长度为/6.(17分)28

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