全国100所名校单元测试示范卷高三数学十三答案

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4.【命题立意】平面向量是全国卷的必考点，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大，主要考查平面向量的线性运算、模、数量积以及坐标运算等内容，预计2022年高考仍会按照此规律进行命题，【解析】.1a-b1=2,a+b1=25,.a2-2a·b+b2=4①，a2+2a·b+b2=20②.②-①，得4a·b=16,∴.a·b=4.故选A.【答案】A.

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21.【命题立意】函数与导数的综合问题是全国卷的必考点，通常考查零，点问题、不等式的证明问题，解答该题通常需要综合运用分类讨论、转化与化归以及数形结合等数学思想，难度较大，预计2022年高考仍会按照此规律进行命题，(1)【解】fx)=(xa)lhxf(x)的定义域为(0，+o）,…f(x)=lnxa+1令6h1,则g(e)=立号2a>0,x>0,.g'(x)>0,∴g(x)在(0，+o)上单调递增，即f'(x)在(0，+o)上单调递增，且f'(a)=naf'(1)=1-a.…（2分)①当0 0,∴.存在x1E(a,1),使得f'(x)=0,当0 x1时f'(x)>0,f(x)在(0，x1)上单调递减，在(1，+)上单调递增.f(a)=0,f代1)=0，且0 0,得x>1,∴.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴f(x)的最小值为f(1)=0,∴f(x)有唯一的一个零点1.(4分)③当a>1时，lna>0,1-a<0,∴.存在x2∈(1，a),使得f'(x2)=0,当0 x2时f'(x)>0,∴f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增.fa)=0,f代1)=0，且0<1 0且a≠1时f代x)有两个零点.…(6分)(2)【证明】由(1)可知，当a=1时，f(x)=（x-1)lnx≥0，∴.（x2-x)lnx≥0，1313(-)1nx+x+2cosx-25in≥x+2osx-2in名……(7分2h(x)=2x+xcos x-3sin x,x>0.当x≥T时，h(x)=2x+xcos x-3sinx=x(1+co8x)+x-3sinx>x-3>0.…(8分)当0 0,∴t'(x)在(0，)上为增函数，(x)>t(0)=0,…(10分）∴t(x)在(0，r)上为增函数，t(x)=h'(x)>h'(0)=0,.h(x)在(0，π)上为增函数，h(x）>h(0)=0,…(11分)1132in=2()>0,即(x-)血xt+2*os4sinx>0,…(12分)2【名师评题】本题主要考查导数在求函数零点和证明不等式方面的应用.第(1)问考查分类讨论思想，需要对参变量进行合理分类，这对大部分考生来说是难点，但这恰恰又是考试的热点和重点.导数零点问题，要用好九宇诀：有没有，在不在，比大小，第(2)问将对数函数、暴函数和三角函数交汇在一起，综合性强，方法更加灵活，尤其是对三角函数自变量取值合理划分区间段分类求证，需要考生有敏锐的观察力、对式子的拆配能力以及估算能力，需要考生有很深的数学功底和较强的分析能力.本题还考查加强不等式的应用，即首先利用第(1)问得出(x2-x)lx≥0，再证加强不等式+20s×2in>0即可，这样就会使问题求解变得简单些，这也是解决这类问题的常3用方法